布莱克舒尔斯期权定价模型

布莱克-舒尔斯（Black-Scholes）期权定价模型是一种用于计算欧式期权价格的数学模型，被认为是金融工程领域的重要成就之一。它由费希尔·布莱克（Fischer Black）和默顿·舒尔斯（Myron Scholes）在1973年提出，并于1997年诺贝尔经济学奖颁给这两位经济学家，以表彰他们的贡献。

模型基本假设：

1. 市场假设：

   • 市场是有效的，不存在套利机会。
   • 资产价格遵循几何布朗运动（Geometric Brownian Motion），即其价格的变化服从随机游走模型。

2. 基本参数：

   • 标的资产价格 $S_t$：标的资产在时间 $t$ 的价格。
   • 行权价格 $K$：期权的行权价格，即标的资产的约定购买或卖出价格。
   • 到期时间 $T$：期权的到期时间。
   • 无风险利率 $r$：期间内可获得的无风险利率。
   • 标的资产波动率 $\sigma$：标的资产的年化波动率。

模型公式：

布莱克-舒尔斯模型基于偏微分方程，它的基本公式为：

$$
C(S_t, t) = S_t \cdot N(d_1) - K \cdot e^{-r(T-t)} \cdot N(d_2)
$$

$$
P(S_t, t) = K \cdot e^{-r(T-t)} \cdot N(-d_2) - S_t \cdot N(-d_1)
$$

其中：

• $C(S_t, t)$ 和 $P(S_t, t)$ 分别表示欧式看涨期权和看跌期权的价格。
• $N$ 是标准正态分布的累积分布函数。
• $d_1$ 和 $d_2$ 是根据以下公式计算的：

$$
d_1 = \frac{\ln(S_t / K) + (r + \frac{\sigma^2}{2})(T - t)}{\sigma \sqrt{T - t}}
$$

$$
d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T - t}
$$

解释和应用：

• 定价原理：布莱克-舒尔斯模型通过考虑标的资产价格的随机波动性、期权行权价格、时间价值和无风险利率，计算出一个合理的期权价格。
• 波动率的影响：模型中的一个关键参数是标的资产的波动率 $\sigma$，它反映了市场对资产未来波动性的预期。波动率越高，期权的价格通常也会越高。
• 应用范围：布莱克-舒尔斯模型主要适用于欧式期权（即只能在到期日行使的期权），并且假设市场是无套利的和免除交易成本的情况下。

布莱克-舒尔斯模型为金融市场提供了一种理论框架，使得投资者和金融机构能够更准确地定价和交易期权，同时也促进了对金融衍生品定价理论的深入研究和发展。